எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரிகளைப் புரிந்துகொள்வது

ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியானது பொருளாதார அளவீட்டில் மிகவும் அடிப்படையான கருவிகளில் ஒன்றாகும். இது இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது: ஒரு சார்பு மாறி (பெரும்பாலும் விளைவு அல்லது பதில் என குறிப்பிடப்படுகிறது) மற்றும் ஒரு சுயாதீன மாறி (முன்கணிப்பாளர் அல்லது விளக்க மாறி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). எளிமையானது என்றாலும், இந்த மாதிரியானது மிகவும் சிக்கலான பொருளாதார மாதிரிகளுக்கு அடித்தளமாக அமைகிறது மற்றும் வருமானம் மற்றும் நுகர்வு, பணவீக்கம் மற்றும் வேலையின்மை, அல்லது விளம்பரம் மற்றும் விற்பனை போன்ற மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளைக் கணிக்க பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இந்த இடுகை உங்களை வழிநடத்தும்:

• முடிவுகளை விளக்குதல் மற்றும் நிஜ உலக பொருளாதார பகுப்பாய்வில் அவற்றைப் பயன்படுத்துதல்

• என்ன ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரி

• மாதிரியை ஆதரிக்கும் முக்கிய அனுமானங்கள்

• குறைந்த சதுரங்கள் முறையைப் பயன்படுத்தி மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவை மதிப்பிடுவதற்கான படிப்படியான வழிகாட்டி

• பொருளாதாரத்தில் பின்னடைவு மாதிரியின் நடைமுறை உதாரணம்

ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரி என்றால் என்ன?

ஒரு எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியானது ஒரு நேர்கோட்டைப் பயன்படுத்தி இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவை விளக்குகிறது. எளிமையாகச் சொல்வதானால், மற்றொரு மாறி (வருமானம் போன்றவை) மாறும்போது ஒரு மாறி (நுகர்வு என்று வைத்துக்கொள்வோம்) எப்படி மாறும் என்பதை இது கணிக்க உதவுகிறது.

கணித ரீதியாக, நாம் அதை இவ்வாறு வெளிப்படுத்துகிறோம்: \[
Y = \alpha + \beta X + \epsilon
\]

ஒவ்வொரு சின்னமும் எதைக் குறிக்கிறது என்பது இங்கே:

• \( Y \) என்பது சார்பு மாறி. நீங்கள் கணிக்க அல்லது விளக்க முயற்சிக்கும் மாறி இது. எடுத்துக்காட்டாக, வருமானம் நுகர்வை எவ்வாறு பாதிக்கிறது என்பதை நீங்கள் ஆய்வு செய்தால், \( Y \) நுகர்வைக் குறிக்கும்.
• \( X \) என்பது ஒரு சுயாதீன மாறி. இது \( Y \) தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும் என்று நீங்கள் நினைக்கும் மாறியாகும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், \( X \) வருமானத்தைக் குறிக்கும்.
• \( \alpha \) (alpha) என்பது இடைமறிப்பு ஆகும். இங்குதான் \( X \) பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது கோடு Y- அச்சைக் கடக்கிறது. இது \( X = 0 \) போது \( Y \) மதிப்பைக் குறிக்கிறது.
• \( \beta \) (beta) என்பது கோட்டின் சாய்வு. \( X \) இல் உள்ள ஒவ்வொரு யூனிட் மாற்றத்திற்கும் \( Y \) மாற்றத்தின் அளவை இது காட்டுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், \( X \) ஒரு யூனிட் மூலம் எவ்வளவு \( Y \) அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது என்பதை இது உங்களுக்குக் கூறுகிறது.
• \( \epsilon \) (epsilon) என்பது பிழைச் சொல், \( X \) மூலம் விளக்கப்படாத பிற காரணிகளைப் பிடிக்கிறது. இது முக்கியமானது, ஏனென்றால் நிஜ உலகத் தரவுகள் ஒரு காரணியால் மட்டுமே கணிக்கப்படுவது அரிது.

பின்னடைவு பகுப்பாய்வின் நோக்கம் \( \alpha \) மற்றும் \( \beta \) மதிப்புகளை மதிப்பிடுவதே தரவுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது. நீங்கள் அவற்றைப் பெற்றவுடன், \( X \) கொடுக்கப்பட்ட எந்த மதிப்பையும் நீங்கள் \( Y \) கணிக்கலாம்.

எளிய நேரியல் பின்னடைவின் முக்கிய அனுமானங்கள்

மாதிரி சரியாக வேலை செய்வதற்கும் நம்பகமான கணிப்புகளை வழங்குவதற்கும், இது ஐந்து முக்கிய அனுமானங்களில் தங்கியுள்ளது:

நேர்கோட்டுத்தன்மை

சுயாதீன மாறி (X) மற்றும் சார்பு மாறி (Y) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான உறவு நேரியல் இருக்க வேண்டும். X மாறும்போது Y ஒரு நேர்கோட்டில் அதிகரிக்க வேண்டும் (அல்லது குறைக்க வேண்டும்). உறவு நேரியல் இல்லை என்றால், மாதிரி சரியாக வேலை செய்யாது.

சுதந்திரம்

உங்கள் தரவுத்தொகுப்பில் உள்ள அவதானிப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று சார்பற்றதாக இருக்க வேண்டும். எந்தவொரு கவனிப்பும் மற்றொன்றால் பாதிக்கப்படக்கூடாது என்பதே இதன் பொருள். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் வீட்டு வருமானம் மற்றும் நுகர்வுகளைப் படிக்கிறீர்கள் என்றால், உங்கள் தரவுத்தொகுப்பில் ஒரு குடும்பத்தின் வருமானம் மற்றொரு குடும்பத்தின் வருமானத்தைப் பாதிக்கக் கூடாது.

ஓரினச்சேர்க்கை

இந்த ஆடம்பரமான சொல் என்பது X இன் அனைத்து மதிப்புகளிலும் பிழைச் சொல்லின் (ε) பரவல் (அல்லது மாறுபாடு) நிலையானதாக இருக்க வேண்டும். எளிமையான வகையில், X பெரியதாக இருந்தாலும், பின்னடைவுக் கோட்டிலிருந்து தரவுப் புள்ளிகளின் தூரம் தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். அல்லது சிறியது.

பிழைகளின் இயல்பான தன்மை

பிழைகள் (ε) பொதுவாக விநியோகிக்கப்பட வேண்டும், அதாவது பெரும்பாலான பிழைகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு அருகில் இருக்கும் மற்றும் பெரிய பிழைகள் (நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை) அரிதானவை.

மல்டிகோலினியரிட்டி இல்லை

எளிய நேரியல் பின்னடைவில் நாம் ஒரு சுயாதீன மாறியை மட்டுமே பயன்படுத்துவதால், இந்த அனுமானம் பொருந்தாது. ஆனால் நாம் இன்னும் சுயாதீன மாறிகளை அறிமுகப்படுத்தினால் (பல பின்னடைவு போன்றது), இந்த மாறிகள் ஒன்றுக்கொன்று அதிக தொடர்பு இல்லை என்பதை நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்.

இந்த மாதிரி ஏன் முக்கியமானது?

எளிமையான நேரியல் பின்னடைவு மாதிரியானது மேம்பட்ட பொருளாதார மாதிரிகளுக்கான கட்டுமானத் தொகுதியாகும். இது பொருளாதார வல்லுனர்களை அனுமதிக்கிறது:

• இரண்டு மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவைப் பற்றிய கணிப்புகளைச் செய்யுங்கள்

• ஒரு காரணியில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் (வருமானம் போன்றவை) மற்றொன்றை (நுகர்வு போன்றவை) எவ்வாறு பாதிக்கின்றன என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள்

• பொருளாதார உறவுகள் பற்றிய சோதனை கருதுகோள்கள்

எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்ற கேள்விகளுக்கு பதிலளிக்க உதவுகிறது:

• வருமானம் $1,000 உயரும்போது நுகர்வு எவ்வளவு அதிகரிக்கிறது?

• விளம்பரச் செலவு அதிகரிப்பது அதிக விற்பனைக்கு வழிவகுக்குமா?

இந்த உறவுகளைப் புரிந்துகொள்வது வணிகங்களும் கொள்கை வகுப்பாளர்களும் தகவலறிந்த முடிவுகளை எடுக்க அனுமதிக்கிறது.

பின்னடைவு மாதிரியை மதிப்பிடுதல்

இப்போது, ​​விஷயங்களின் நடைமுறைப் பக்கத்திற்குள் நுழைவோம். உங்கள் பின்னடைவு மாதிரிக்கான α (இடைமறியல்) மற்றும் β (சாய்வு) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை மதிப்பிடுவதற்கு நீங்கள் எவ்வாறு தரவைப் பயன்படுத்தலாம் என்பதை விளக்குவோம். இதைச் செய்ய நாங்கள் சாதாரண குறைந்த சதுரங்கள் (OLS) முறையைப் பயன்படுத்துவோம், இது Y இன் கவனிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் மற்றும் Ŷ இன் கணிக்கப்பட்ட மதிப்புகள் (மாதிரியால் கணிக்கப்படும் மதிப்புகள்) ஆகியவற்றுக்கு இடையேயான வேறுபாட்டைக் குறைக்கிறது.

நீங்கள் பின்பற்ற வேண்டிய படிகள் இங்கே:

வழிமுறைகளைக் கணக்கிடுங்கள்

நீங்கள் பின்னடைவுக் கோட்டைக் கணக்கிடத் தொடங்கும் முன், X இரண்டின் சராசரி (சராசரி) மதிப்புகளைக் கணக்கிட வேண்டும் மற்றும் Y. சராசரி உங்கள் தரவின் “மையத்தை” புரிந்துகொள்ள உதவுகிறது.

உங்களிடம் வருமானம் (X) மற்றும் நுகர்வு (Y) பற்றிய ஐந்து அவதானிப்புகள் உள்ளன என்று வைத்துக் கொள்வோம். உங்கள் தரவு இப்படி இருக்கலாம்:

வருமானம் (X)	நுகர்வு (Y)
20	30
25	35
30	43
35	50
40	55

X மற்றும் Y இன் சராசரியைக் கண்டறிய, நீங்கள் எல்லா மதிப்புகளையும் சேர்த்து, அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும்:

\\[
\bar{X} = \frac{20 + 25 + 30 + 35 + 40}{5} = 30
\]

\\[
\bar{Y} = \frac{30 + 35 + 43 + 50 + 55}{5} = 43
\]

எனவே, சராசரி வருமானம் $30,000, மற்றும் சராசரி நுகர்வு $43,000.

கோவாரியன்ஸைக் கணக்கிடுங்கள்

இரண்டு மாறிகள் (எக்ஸ் மற்றும் ஒய்) எவ்வளவு ஒன்றாக மாறுகின்றன என்பதை கோவாரியன்ஸ் நமக்குக் கூறுகிறது. \( X \) அதிகரித்தால், \( Y \) அதிகரிக்க முனைகிறதா அல்லது எதிர் திசையில் நகருமா? இணைநிலைக்கான சூத்திரம்: \[
\text{Cov}(X, Y) = \frac{\sum(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{n}
\]

எங்கே: – \( X_i \) மற்றும் \( Y_i \) என்பது தனிப்பட்ட தரவு புள்ளிகள் – \( \bar{X} \) மற்றும் \( \bar{Y} \) என்பது \( X \) மற்றும் \ (ஒய் \) அதை படிப்படியாகக் கணக்கிடுவோம். முதலில், \( X \) மற்றும் \( Y \) ஒவ்வொரு மதிப்பிலிருந்தும் சராசரியைக் கழிக்கவும்:

வருமானம் (X)	\( X – \bar{X} \)	நுகர்வு (Y)	\( Y – \bar{Y} \)	\( (X – \bar{X})(Y – \bar{Y}) \)
20	-10	30	-13	130
25	-5	35	-8	40
30	0	43	0	0
35	5	50	7	35
40	10	55	12	120

இப்போது, ​​பெற வேண்டிய கடைசி நெடுவரிசையைத் தொகுக்கவும்:

\\[
\sum(X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = 130 + 40 + 0 + 35 + 120 = 325
\]

இறுதியாக, அவதானிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கவும் (n = 5): \[
\text{Cov}(X, Y) = \frac{325}{5} = 65
\]

மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுங்கள்

சார்பற்ற மாறி (\(X\)) தானே எவ்வளவு மாறுபடுகிறது என்பதை மாறுபாடு நமக்குக் கூறுகிறது. மாறுபாட்டிற்கான சூத்திரம்: \[
\text{Var}(X) = \frac{\sum(X_i – \bar{X})^2}{n}
\]

\( X \): \ க்கான எங்கள் முந்தைய மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துதல்[
\text{Var}(X) = \frac{(-10)^2 + (-5)^2 + (0)^2 + (5)^2 + (10)^2}{5} = \frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5} = 50
\]

சாய்வை மதிப்பிடுங்கள்

இப்போது, ​​பின்னடைவுக் கோட்டின் சாய்வை (\(\beta\)) மதிப்பிடலாம். \(X\) இல் ஒரு யூனிட் அதிகரிப்புக்கு \(Y\) எவ்வளவு மாறுகிறது என்பதை சாய்வு கூறுகிறது. சூத்திரம்: \[
\beta = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(X)}
\]

நாங்கள் கணக்கிட்ட மதிப்புகளுக்குப் பதிலாக: \[
\beta = \frac{65}{50} = 1.3
\]

அதாவது ஒவ்வொரு கூடுதல் \$1,000 வருமானத்திற்கும், நுகர்வு \$1,300 அதிகரிக்கிறது.

குறுக்கீட்டை மதிப்பிடவும்

இறுதியாக, \(X\) பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது \(Y\) இன் மதிப்பு என்னவாக இருக்கும் என்பதைக் கூறும் குறுக்கீடு (\(\alpha\)) ஐ மதிப்பிடுவோம். சூத்திரம்: \[
\alpha = \bar{Y} – \beta \bar{X}
\]

\(\bar{X} = 30\), \(\bar{Y} = 43\), மற்றும் \(\beta = 1.3\): \ இன் மதிப்புகளை மாற்றவும்[
\alpha = 43 – (1.3 \times 30) = 43 – 39 = 4
\]

எனவே, இடைமறிப்பு \$4,000.

இறுதி பின்னடைவு சமன்பாடு

இப்போது நாம் சாய்வு (\(\beta = 1.3\)) மற்றும் இடைமறிப்பு (\(\alpha = 4\)) ஆகியவற்றை மதிப்பிட்டுள்ளோம், எங்கள் இறுதி பின்னடைவு சமன்பாடு: \[
Y = 4 + 1.3X
\]

இந்தச் சமன்பாடு ஒவ்வொரு கூடுதல் \$1,000 வருமானத்திற்கும், நுகர்வு \$1,300 அதிகரிக்கிறது. வருமானம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​நுகர்வு \$4,000 என்று கணிக்கப்படுகிறது.

எளிய நேரியல் பின்னடைவு எவ்வாறு பொருளாதார மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவுகளைப் புரிந்து கொள்ளவும், கணிக்கவும் உதவுகிறது என்பதை நாம் பார்க்கலாம். பின்னடைவை திறம்பட பயன்படுத்துவதற்கான திறவுகோல் சூத்திரங்களை மட்டுமல்ல, ஒவ்வொரு முடிவும் எக்ஸ் மற்றும் ஒய் இடையேயான உறவைப் பற்றி என்ன சொல்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது.

முடிவுகளின் விளக்கம்

இப்போது நாம் \( Y = 4 + 1.3X \) சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம், இந்த முடிவுகளை அர்த்தமுள்ள வகையில் விளக்குவோம்.

இடைமறிப்பு விளக்கம்

குறுக்கீடு (\( \alpha = 4 \)) வருமானம் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், கணிக்கப்பட்ட நுகர்வு \$4,000 என்று நமக்குச் சொல்கிறது. நடைமுறையில் இது யதார்த்தமானதாகத் தெரியவில்லை என்றாலும் (பூஜ்ஜிய வருமானம் பொதுவானதல்ல என்பதால்), பிற கணிப்புகள் செய்யப்பட்ட அடிப்படை மதிப்பை இது நமக்கு வழங்குகிறது.

சாய்வு விளக்கம்

சாய்வு (\( \beta = 1.3 \)) என்பது ஒவ்வொரு கூடுதல் \$1,000 வருமானத்திற்கும், நுகர்வு \$1,300 அதிகரிக்கிறது. இது வருமானத்திற்கும் நுகர்வுக்கும் இடையே ஒரு நேர்மறையான உறவைக் காட்டுகிறது, அங்கு அதிக வருமானம் அதிக நுகர்வுக்கு வழிவகுக்கிறது.

நடைமுறை பயன்பாடு

வருவாய் அடிப்படையில் எதிர்கால நுகர்வு அளவைக் கணிக்க பின்னடைவு மாதிரியைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு குடும்பத்தின் வருமானம் \$50,000 என்று நமக்குத் தெரிந்தால், அதன் நுகர்வைக் கணிக்க சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்: \[
Y = 4 + 1.3(50) = 69
\]

இதன் பொருள் \$50,000 சம்பாதிக்கும் ஒரு குடும்பத்திற்கு, கணிக்கப்பட்ட நுகர்வு \$69,000 ஆகும்.

பொருளாதாரத்தில் எளிய பின்னடைவின் பயன்பாடுகள்

எளிய நேரியல் பின்னடைவு பல்வேறு நடைமுறை நோக்கங்களுக்காக பொருளாதாரத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கீழே மூன்று முக்கியமான பயன்பாடுகள் உள்ளன:

நுகர்வு மற்றும் வருமானம்

மேலே விளக்கப்பட்டுள்ளபடி, நுகர்வுக்கும் வருமானத்திற்கும் இடையிலான உறவு, எளிமையான பின்னடைவின் பொதுவான பயன்பாடுகளில் ஒன்றாகும். கொள்கை வகுப்பாளர்கள் மற்றும் பொருளாதார வல்லுநர்கள் இந்த தகவலை நுகர்வோர் செலவின நடத்தையை கணிக்க பயன்படுத்துகின்றனர், இது ஒரு பொருளாதாரத்தில் தேவையை புரிந்துகொள்வதற்கு முக்கியமானது.

பணவீக்கம் மற்றும் வேலையின்மை (பிலிப்ஸ் வளைவு)

பொருளாதாரத்தில் எளிமையான பின்னடைவின் பிரபலமான பயன்பாடு பிலிப்ஸ் வளைவு ஆகும், இது பணவீக்கத்திற்கும் வேலையின்மைக்கும் இடையே ஒரு தலைகீழ் உறவைக் காட்டுகிறது. வேலையின்மை விகிதங்களுக்கு எதிராக பணவீக்க விகிதங்களை திட்டமிடுவதன் மூலம், பொருளாதார வல்லுநர்கள் வேலையின்மையில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் பணவீக்கத்தை எவ்வாறு பாதிக்கலாம் மற்றும் நேர்மாறாகவும் கணிக்க முடியும்.

விற்பனை மற்றும் விளம்பரம்

விளம்பரச் செலவில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் விற்பனையை எவ்வாறு பாதிக்கின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ள நிறுவனங்கள் அடிக்கடி பின்னடைவு மாதிரிகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. உதாரணமாக, ஒரு நிறுவனம் விளம்பரத்திற்காக அதிகம் செலவழித்தால், அவர்கள் எவ்வளவு கூடுதல் வருவாயை (அல்லது விற்பனையை) எதிர்பார்க்கலாம் என்பதை மதிப்பிடுவதற்கு பின்னடைவைப் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த நிஜ-உலகப் பயன்பாடுகள் வணிகம் மற்றும் கொள்கை இரண்டிலும் தகவலறிந்த முடிவுகள் மற்றும் முன்னறிவிப்புகளை எடுப்பதில் எளிமையான நேரியல் பின்னடைவின் ஆற்றல் மற்றும் பல்துறைத் திறனை விளக்குகின்றன.

முடிவுரை

எளிய நேரியல் பின்னடைவு என்பது பொருளாதார அளவீடுகளில் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும், இது இரண்டு பொருளாதார மாறிகளுக்கு இடையிலான உறவை அளவிடுவதற்கான வழியை வழங்குகிறது. அனுமானங்களைப் புரிந்துகொள்வதன் மூலமும், குறைந்தபட்ச சதுரங்கள் மதிப்பீட்டு முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலமும், பொருளாதார வல்லுநர்கள் கணிப்புகள் மற்றும் சோதனை கருதுகோள்களை உருவாக்கலாம், மேலும் மேம்பட்ட பகுப்பாய்வுகளுக்கான அடித்தளத்தை அமைக்கலாம்.

நுகர்வு, பணவீக்கம் அல்லது விற்பனைத் தரவை நீங்கள் பகுப்பாய்வு செய்தாலும், எளிய நேரியல் பின்னடைவு மாறிகள் எவ்வாறு ஒன்றோடொன்று தொடர்பு கொள்கின்றன என்பதைப் பற்றிய மதிப்புமிக்க நுண்ணறிவுகளை வழங்குகிறது. எதிர்கால இடுகைகளில், ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகள் பயன்படுத்தப்படும் பல பின்னடைவு மாதிரிகளை ஆராய்வோம், இது பொருளாதார உறவுகளின் சிறந்த பகுப்பாய்வுகளை அனுமதிக்கிறது.

படித்ததற்கு நன்றி! இது உங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருந்தால், நண்பர்களுடன் பகிர்ந்து, அறிவைப் பரப்புங்கள்.
MASEபொருளாதாரத்துடன் மகிழ்ச்சியாக கற்றல்